O是锐角三角形ABC的外心，AO,BO,CO分别交对边于L,M,N,则AO:AL+BO:BM+CO:CN=？

过O作OE⊥BC交BC于E，再过A作AF⊥BC交BC于F。

∵OE⊥BC，AF⊥BC，∴OE∥AF，∴△OEL∽△AFL，∴OL∶AL＝OE∶AF。

△OBC与△ABC是同底不等高的三角形，∴OE∶AF＝△OBC的面积∶△ABC的面积，

∴OL∶AL＝△OBC的面积∶△ABC的面积，

∴（1－OL∶AL）＝1－△OBC的面积∶△ABC的面积

∴（AL－OL）∶AL＝1－△OBC的面积∶△ABC的面积

∴AO∶AL＝1－△OBC的面积∶△ABC的面积。······①

同理，有：BO∶BM＝1－△OAC的面积∶△BAC的面积，······②

CO∶CN＝1－△OAB的面积∶△CAB的面积。······③

①＋②＋③，得：

AO∶AL＋BO∶BM＋CO∶CN＝3－（△OBC的面积＋△OAC的面积＋△OAB的面积）∶△CAB的面积

而△OBC的面积＋△OAC的面积＋△OAB的面积＝△CAB的面积

∴AO∶AL＋BO∶BM＋CO∶CN＝3－1＝2。

注：△ABC为任意三角形，且点O为△ABC内任意一点，都有：AO∶AL＋BO∶BM＋CO∶CN＝2